50 bài tập về Góc nội tiếp (có đáp án 2024)

Với cơ hội giải Bài tập dượt về góc nội tiếp môn Toán lớp 9 Hình học tập bao gồm cách thức giải cụ thể, bài xích tập dượt minh họa với tiếng giải và bài xích tập dượt tự động luyện sẽ hỗ trợ học viên biết phương pháp thực hiện bài xích tập dượt Bài tập dượt về góc nội tiếp. Mời chúng ta đón xem:

Bài tập dượt về góc nội tiếp và cơ hội giải - Toán lớp 9

Bạn đang xem: 50 bài tập về Góc nội tiếp (có đáp án 2024) | Toán 9

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa góc nội tiếp

- Góc với đỉnh phía trên lối tròn trặn và nhì cạnh là nhì thừng cung của lối tròn trặn là góc nội tiếp.

Bài tập dượt về góc nội tiếp và cơ hội giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Góc $\hat{B A C}$ có đỉnh A phía trên lối tròn trặn (O) và AB, AC là nhì cạnh của góc cũng chính là nhì thừng của lối tròn trặn. Do vậy $\hat{B A C}$ là góc nội tiếp của lối tròn trặn (O).

2. Định lý

- Trong một lối tròn trặn, số đo góc nội tiếp vì như thế 1/2 số đo cung bị khuất.

3. Hệ quả

Trong một lối tròn trặn

- Các góc nội tiếp cân nhau chắn những cung cân nhau.

- Các góc nội tiếp nằm trong chắn một cung hoặc chắn những cung cân nhau thì cân nhau.

- Góc nội tiếp (có số đo nhỏ rộng lớn hoặc vì như thế $90 °$ ) với số đo vì như thế nửa số đo của góc ở tâm nằm trong chắn một cung.

- Góc nội tiếp chắn nửa lối tròn trặn là góc vuông.

II. Các dạng bài xích tập

Dạng 1: Chứng minh nhì góc cân nhau, đoạn trực tiếp cân nhau, tam giác đồng dạng

Phương pháp giải: Dùng hệ trái khoáy nhập phần tóm lược lí thuyết nhằm chứng tỏ nhì góc cân nhau, nhì đoạn trực tiếp cân nhau.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với tía góc nhọn lối cao AH và nội tiếp lối tròn trặn (O). Vẽ 2 lần bán kính AM.

a) Tính $\hat{A C M}$ .

b) Chứng minh $\hat{B A H} = \hat{O C A}$ .

Lời giải:

Bài tập dượt về góc nội tiếp và cơ hội giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Ta có:

$\hat{A C M}$ có đỉnh C phía trên lối tròn trặn (O)

AC và BC là thừng của lối tròn trặn (O)

Do ê $\hat{A C M}$ là góc nội tiếp của lối tròn trặn (O)

Mặt không giống AM là 2 lần bán kính nên $\hat{A C M}$ là góc nội tiếp chắn nữa lối tròn

$\Rightarrow \hat{A C M} = 90 °$ (do góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông).

b) $\hat{A B C}$ có đỉnh B phía trên lối tròn trặn (O) và BA, BC là nhì thừng của lối tròn trặn

Do ê $\hat{A B C}$ là góc nội tiếp của lối tròn trặn (O) chắn $\overset{⏜}{A C}$ .

Đặt góc $\hat{A B C} = x (0 < x < 90 °)$

Xét tam giác AHB vuông bên trên H có:

$\hat{B A H} + \hat{A B H} + \hat{A H B} = 180 °$ (định lý tổng tía góc nhập một tam giác)

$\Leftrightarrow \hat{B A H} + x + 90 ° = 180 °$

$\Leftrightarrow \hat{B A H} = 180 ° - 90 ° - x$

$\Leftrightarrow \hat{B A H} = 90 ° - x$ (1)

Lại với $\hat{A O C}$ là góc ở tâm chắn cung $\overset{⏜}{A C}$ và $\hat{A B C}$ là góc nội tiếp chắn cung $\overset{⏜}{A C}$

$\Rightarrow \hat{A O C} = 2. \hat{A B C} = 2 x$

Xét tam giác OAC có:

OA = OC

=> tam giác OAC cân nặng bên trên O

$\Rightarrow \hat{O A C} = \hat{O C A}$

Ta có:

$\hat{O A C} + \hat{O C A} + \hat{A O C} = 180 °$ (định lí tổng tía góc nhập một tam giác).

$\Leftrightarrow 2 \hat{O C A} + 2 x = 180 °$

$\Leftrightarrow 2 (\hat{O C A} + x) = 180 °$

$\Leftrightarrow \hat{O C A} + x = 180 ° : 2$

$\Leftrightarrow \hat{O C A} + x = 90 °$

$\Leftrightarrow \hat{O C A} = 90 ° - x$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \hat{O C A} = \hat{B A H}$

Ví dụ 2: Cho lối tròn trặn (O) và điểm I ko phía trên lối (O). Qua điểm I ở ngoài lối tròn trặn tớ vẽ những thừng cung AB và CD sao cho tới A nằm trong lòng B và I; C nằm trong lòng I và D.

a) So sánh những cặp góc $\hat{A C I}$ và $\hat{A B D}$ ; $\hat{C A I}$ và $\hat{C D B}$ .

b) Chứng minh tam giác IAC đồng dạng với tam giác IDB.

c) Chứng minh IA.IB = IC.ID.

Lời giải:

Bài tập dượt về góc nội tiếp và cơ hội giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Ta có:

$\hat{A B D}$ là góc nội tiếp lối tròn trặn (O) chắn $\overset{⏜}{A D}$ nhỏ.

$\Rightarrow \hat{A B D} = \frac{1}{2}$ sđ $\overset{⏜}{A D}$ nhỏ (định lí) (1)

Lại có: $\hat{A C D}$ là góc nội tiếp lối tròn trặn (O) chắn $\overset{⏜}{A D}$ rộng lớn.

$\Rightarrow \hat{A C D} = \frac{1}{2}$ sđ $\overset{⏜}{A D}$ rộng lớn (định lí) (2)

Ta có:

sđ $\overset{⏜}{A D}$ nhỏ + sđ $\overset{⏜}{A D}$ rộng lớn $= 360 °$

=> $\frac{1}{2}$ sđ $\overset{⏜}{A D}$ nhỏ + $\frac{1}{2}$ sđ $\overset{⏜}{A D}$ $= 180 °$ (3)

Từ (1); (2); (3) $\Rightarrow \hat{A C D} + \hat{A B D} = 180 °$ (4)

Ta với $\hat{A C D} + \hat{A C I} = 180 °$ (do nhì góc kề bù) (5)

Từ (4) và (5) $\Rightarrow \hat{A B D} = \hat{A C I}$ (hai góc nằm trong bù với góc $\hat{A C D}$ ).

Chứng minh tương tự động cho tới nhì góc $\hat{C A I}$ và $\hat{C D B}$ (hai góc nằm trong bù với góc $\hat{B A C}$ )

$\Rightarrow \hat{C A I} = \hat{C D B}$ .

b) Vì I, A, B trực tiếp mặt hàng nên $\hat{A B D} = \hat{I B D}$ , vì thế $\hat{I B D} = \hat{A C I}$

Vì I, C, D trực tiếp mặt hàng nên $\hat{C D B} = \hat{I D B}$ , vì thế $\hat{I D B} = \hat{C A I}$

Xét nhì tam giác IDB và tam giác IAC có:

$\hat{I B D} = \hat{A C I}$ (chứng minh trên)

$\hat{I D B} = \hat{C A I}$ (chứng minh trên)

Do ê $Δ I D B$ đồng dạng với $Δ I A C$ (g – g)

c) Vì $Δ I D B$ đồng dạng với $Δ I A C$ $\Rightarrow \frac{I D}{I A} = \frac{I B}{I C}$ (hai cặp cạnh ứng tỉ lệ)

Xem thêm: Những từ ghép có từ tố chỉ bộ phận cơ thể trong tiếng Việt

=> IA.IB = IC.ID

Dạng 2: Chứng minh đường thẳng liền mạch vuông góc, tía điểm trực tiếp hàng

Phương pháp giải: Sử dụng những ấn định lí, đặc điểm, hệ trái khoáy của góc ở tâm, góc nội tiếp.

Áp dụng mối liên hệ kể từ vuông góc cho tới tuy vậy tuy vậy, định đề Ơ clit.

Ví dụ 1: Cho lối tròn trặn (O), 2 lần bán kính AB và S là 1 trong điểm ở bên phía ngoài lối tròn trặn. SA và SB theo thứ tự hạn chế lối tròn trặn bên trên M, N. Gọi P.. là phú điểm của BM và AN. Chứng minh SP vuông góc với AB.

Lời giải:

Bài tập dượt về góc nội tiếp và cơ hội giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Vì $\hat{A M B}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do AB là lối kính)

$\Rightarrow \hat{A M B}$ là góc vuông

$\Rightarrow B M ⊥ S A$

$\Rightarrow B M$ là lối cao của tam giác SAB.

Vì $\hat{A N B}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do AB là lối kính)

$\Rightarrow \hat{A N B}$ là góc vuông

$\Rightarrow A N ⊥ S B$

$\Rightarrow A N$ là lối cao của tam giác SAB

Giao điểm của BM và AN là trực tâm tam giác SAB.

=> P.. là trực tâm của tam giác SAB.

$\Rightarrow S P ⊥ A B$ (điều cần bệnh minh).

Ví dụ 2: Cho lối tròn trặn (O) 2 lần bán kính AB, điểm D nằm trong lối tròn trặn. Gọi E là vấn đề đối xứng với A qua chuyện D.

a) Tam giác ABE là tam giác gì?

b) Gọi K là phú điểm của EB với (O). Chứng minh OD vuông góc với AK.

Lời giải:

Bài tập dượt về góc nội tiếp và cơ hội giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Ta có:

$\hat{A D B}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do AB là lối kính)

$\Rightarrow \hat{A D B}$ là góc vuông

$\Rightarrow \hat{A D B} = 90 °$

Xét tam giác ABE có:

$\hat{A D B} = 90 °$ nên $B D ⊥ A E$

=> BD là lối cao của tam giác ABE. (1)

Mặt không giống A đối xứng với E qua chuyện D nên D là trung điểm cuả AE

=> BD là lối trung tuyến của tam giác ABE. (2)

Từ (1) và (2) tớ thấy BD vừa phải là lối cao vừa phải là lối trung tuyến của tam giác ABE

=> Tam giác ABE là tam giác cân nặng bên trên B.

b) Ta có:

D là trung điểm của AE

O là trung điểm của AB

Do ê DO là lối tầm của tam giác ABE

=> DO // EB.

Lại với $\hat{A K B}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do AB là lối kính)

$\Rightarrow \hat{A K B}$ là góc vuông.

$\Rightarrow \hat{A K B} = 90 °$

$\Rightarrow A K ⊥ B E$

Ta có:

$\{\begin{cases} A K ⊥ B E \\ D O / / B E \end{cases} \Rightarrow A K ⊥ D O$ (quan hệ kể từ vuông góc cho tới tuy vậy song).

III. Bài tập dượt vận dụng

Bài 1: Cho nửa lối tròn trặn (O) 2 lần bán kính AB. Lấy M là vấn đề tùy ý bên trên nửa lối tròn trặn (M không giống A và B). Kẻ MH vuông góc với AB (H nằm trong AB). Trên nằm trong nửa mặt mày phẳng phiu bờ AB chứa chấp nửa lối tròn trặn (O) vẽ nhì nửa lối tròn trặn tâm $O_{1}$ , 2 lần bán kính AH và lối tròn trặn $O_{2}$ , 2 lần bán kính BH. Đoạn MA và MB hạn chế nhì nửa lối tròn trặn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ lần lượt bên trên P.. và Q. Chứng minh:

a) MH = PQ;

b) Các tam giác MPQ và MBA đồng dạng;

c) PQ là tiếp tuyến công cộng của hai tuyến phố tròn trặn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ .

Bài 2: Cho lối tròn trặn (O) với những thừng cung AB; BC; CA. Gọi M là vấn đề ở chính giữa cung nhỏ AB. Vẽ thừng MN tuy vậy song với BC. Gọi S là phú điểm của MN và AC. Chứng minh SM = SC và SN = SA.

Bài 3: Cho lối tròn trặn (O) và nhì thừng tuy vậy song AB, CD. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M tùy ý. Chứng minh $\hat{A M C} = \hat{B M D}$ .

Bài 4: Cho lối tròn trặn (O) và nhì thừng AM và BM vuông góc cùng nhau. Gọi I, K theo thứ tự là vấn đề ở chính giữa của những cung nhỏ MA và MB.

a) Chứng minh tía điểm A, O, B trực tiếp mặt hàng.

b) Gọi P.. là phú điểm của AK và BI. Chứng minh P.. là tâm lối tròn trặn nội tiếp tam giác MAB.

Bài 5: Cho lối tròn trặn (O) và nhì thừng AB, AC cân nhau. Qua A vẽ một cát tuyến hạn chế thừng BC ở D và hạn chế (O) ở E. Chứng minh $A B^{2} = A H . A D$ .

Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp lối tròn trặn (O), hai tuyến phố cao BD và CE hạn chế nhau bên trên H. Vẽ 2 lần bán kính AF.

a) Tứ giác BFCH là hình gì? Vì sao?

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tía điểm H, M, F trực tiếp mặt hàng.

c) Chứng minh AH = 2OM.

Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp lối tròn trặn (O; R), lối cao AH, biết AB = 8cm, AC = 15cm, AH = 5cm. Tính nửa đường kính lối tròn trặn (O).

Bài 8: Cho tam giác ABC với lối cao AH nội tiếp lối tròn trặn (O), 2 lần bán kính AD. Chứng minh: AB.AC = AH.AD.

Bài 9: Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp lối tròn trặn (O). Vẽ 2 lần bán kính MN vuông góc với BC (điểm M nằm trong cung BC ko chứa chấp A). Chứng minh những tia AM, AN theo thứ tự là những tia phân giác của góc nhập và những góc ngoài bên trên đỉnh A của tam giác ABC.

Bài 10: Cho nửa lối tròn trặn (O) 2 lần bán kính AB = 2R và điểm C ở ngoài nửa lối tròn trặn và nằm trong phía với nửa mặt mày phẳng phiu với bờ là đường thẳng liền mạch AB và chứa chấp nửa lối tròn trặn. Đường trực tiếp CA hạn chế nửa lối tròn trặn ở M, CB hạn chế nửa lối tròn trặn ở N. Gọi H là phú điểm của AN và BM.

a) Chứng minh CH vuông góc với AB.

b) Gọi I là trung điểm của CH. Chứng minh XiaoMi MI là tiếp tuyến của nửa lối tròn trặn (O).

Bài 11: Cho hai tuyến phố tròn trặn (O) và (O’) hạn chế nhau bên trên A và B. Vẽ những 2 lần bán kính AC và AD của hai tuyến phố tròn trặn (O) và (O’). Chứng minh tía điểm B, C, D trực tiếp mặt hàng.

Bài 12: Cho lối tròn trặn (O) 2 lần bán kính AB và một điểm C chạy xe trên 1/2 lối tròn trặn. Vẽ lối tròn trặn (I) xúc tiếp với (O) bên trên C và xúc tiếp với 2 lần bán kính AB bên trên D.

a) Nêu phương pháp vẽ lối tròn trặn (I) phát biểu bên trên.

b) Đường tròn trặn (I) hạn chế CA, CB theo thứ tự bên trên những điểm thứu nhì là M, N. Chứng minh M, I, N trực tiếp mặt hàng.

c) Chứng minh đường thẳng liền mạch CD trải qua điểm ở chính giữa nửa lối tròn trặn (O) ko chứa chấp C.

Xem tăng những dạng bài xích tập dượt Toán lớp 9 với đáp án và tiếng giải cụ thể khác:

Bài tập dượt về góc tạo nên vì như thế tia tiếp tuyến và thừng cung

Bài tập dượt về góc với đỉnh trực thuộc lối tròn trặn, góc với đỉnh ở ngoài lối tròn trặn và cơ hội giải

Xem thêm: Trọn bộ bài tập thì quá khứ hoàn thành tiếp diễn (Past perfect continuous tense) – từ cơ bản đến nâng cao

Cung chứa chấp góc, những Việc về quỹ tích, dựng hình và cơ hội giải

Tứ giác nội tiếp và cơ hội giải bài xích tập

Đường tròn trặn nội tiếp, Đường tròn trặn nước ngoài tiếp và cơ hội giải bài xích tập